Système d'équations pour un partage en parts inégales

Partager 2150 en 3 personnes pour que la première ait le double de la seconde plus 100 euros et la troisième 50 euros de plus que la seconde.

Je distribue x à la 1e, y à la 2e, z à la 3e personne.
Le total que je distrbue est :
2150 = x+y+z

En outre on veut que :
x = 2y +100 la 1e a le double de la 2e + 100
z = y + 50 la 3e à 50 de plus que la 2e

On a un système de 3 équations à 3 inconnues
x + y + z =2150
x - 2y = 100
y - z = - 50

Ajouter ligne 3 et 1 fait disparaitre z
x+2y = 2150-50 = 2100
Ajouter ligne 2 a la ligne où on vient de faire disparaitre z fait disparaite 2x, x peut être calculé.
2x = 2100 +100 = 2200 donc x = 1100
En suite on calcule y avec la ligne 2
Puis z avec la ligne 3
A vous de finir 

Calculer A(x) =5*(x+3) quand 5x=12

Calculer  A(x) =5*(x+3) quand 5x=12
============================

Je dois d'abord calculer x avec l'égalité 5x = 12

Si je multiplie un nombre quelconque x par 5 j'obtient 5x
Si je divise 5x par 5, c'est comme si je n'avais rien fait car je retrouve x

Quand j'écris une égalité

5x = 12

j'ai le droit de transformer cette égalité de nombreuses façons en faisant subir à la partie gauche et à la partie droite de l'égalité les mêmes opérations.

Dans notre cas si je divise à gauche 5x par 5 je sais que je retrouve 5,
mais pour conserver l'égalité je dois faire pareil à droite, j'obtiens donc en utilisant un format de fraction à la place du signe de division

x = 12 :5 = 12/5

Avec cette valeur de x=12/5 je peux maintenant calculer A(12/5) en remplaçant x par 12/5 dans A(x). Pour cela je passe du modèle A(x) = 5*(x+3)
à A(12/5)=5(12/5+3) en substituant x par la valeur 12/5.

La règle de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition
a(b+c) = ab+bc donne en remplaçant a par 5, b par 12/5 et c par 3
A(12/5) =5(12/5+3) soit encore
A(12/5) =5*12/5 + 3*5 = 12 +15 = 27 qui est le résultat cherché.

Noter que 5*12/5 = 12 car c'est encore une fois prendre 12 le multiplier par 5 puis rediviser le résultat par 5, donc retrouver 12.

On peut dire aussi que 5*12/5 =(5*12)/5 et utiliser la règle de simplification des fractions que je suggère de réviser si déjà étudiée (voir par exemple http://etudes-au-college.hautetfort.com/archive/2009/10/0...)

Arrondis, Calculs sur des fractions et des temps

I) Pour calculer l'arrondi au centième (2e décimale) du nombre a =

831-532
a= ------------
84

je propose d'exécuter la démarche suivante :

1) Faire le calcul indiqué au numérateur

2) Diviser le résultat par 84, en s'arrêtant à la 3e décimale (millième), c'est à dire ne pas calculer les décimales suivantes ou les ignorer si le calcul est fait avec une machine.

3) L'arrondi au centième, s'obtient en prenant ce résultat jusqu'à

• à la 2e décimale sans la changer si la 3e décimale était inférieure à 5.
• la 2e décimale augmentée de 1 si la 3e décimale était supérieure ou égale à 5
  
  (si cette 2e décimale était un 9, ce qui n'est pas le cas pour ce problème, il faudrait passer cette 2e décimale à 0 et augmenter de 1 la 1e décimale, on procèderait de même si cette 1e décimale était elle-même un 9 en ajoutant 1 sur la partie entière)

Le résultat est 3,56

Si on avait demandé un arrondi à la 3e décimale, on se trouverait dans la configuration où la 3e décimale est 9, et où on doit donc la remplacer par 0 et ajouter 1 sur la 2e décimale.
On obtiendrait alors 3,560 qu’on conserve ainsi (on n’écrit pas 3,56 dans ce cas) pour bien montrer que la précision porte sur la 3e décimale et que la 2e décimale est dans ce cas exacte.
==========================================

II) Convertir 3,7 heures en heures et minutes :
0,7 heure = (60 mn) * 0,7 = (60*0,7) mn
3,7 heure = 3h + (60*0,7) mn (Finissez le calcul).
=========================================

III) Calculer l'arrondi au millième (3e décimale) du nombre b

53 °°32
-- - --
51 °°85
b = -----------------
63
__
34

J'ai une fraction (à la hauteur du b= ---------

• composée au numérateur d'une différence de fractions
• et composée au dénominateur d'une fraction

Je propose d'exécuter la démarche suivante

1) Faire le calcul de la différence de fractions indiqué au numérateur.

Pour ajouter ou soustraire 2 fractions, il faut les remplacer par des fractions équivalentes ayant même dénominateur, car on ne sait ajouter ou soustraire que des fractions ayant même dénominateur, le résultat de cette addition ou soustraction étant la fraction ayant pour numérateur la somme ou la différence des numérateurs équivalents et pour dénominateur le dénominateur commun.

La façon la plus simple de choisir un dénominateur commun c'est de prendre le 1e dénominateur et de le multiplier par le 2e, je suis obligé en même temps pour ne pas changer la valeur de ma fraction de multiplier le numérateur 1 par ce 2e dénominateur.

En procédant de façon analogue avec la 2e fraction, puisque je dois multiplier le dénominateur 2 par le dénominateur 1 pour avoir le même dénominateur, je dois pour ne pas changer la valeur de ma fraction 2 multiplier son numérateur 2 par le dénominateur 1

53 °°°°°32°°°°°°°°°°°°°53 * 85 - 32 * 52
-- - --- = -------------------  (les° évite les décalages)
51 °°°°85 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° 51*85

2) le calcul de ce numérateur donne une nouvelle fraction
2873/4335 que je dois diviser par la fraction de notre grand dénominateur sous b = -----------

Or diviser par une fraction c'est multiplier par son inverse.

Et multiplier des fractions entre elles c'est constituer une nouvelle fraction avec pour nouveau numérateur le produit des numérateurs de départ, et nouveau dénominateur le produit des dénominateurs de départ.

Donc, tous calculs faits (mais à faire par l'élève)
°°°°°°°2873°°°34°°°2873 * 34°°°97682°°°°°°289*338°°°338
b= ---- x --= ------- = ------= ------ = ----
°°°°°°°4335 °°63°°°4335 * 63°°°273105°°°°289*945°°°945

je précise que j'ai factorisé 17² = 289 parce que 17 se trouve dans :
37 = 17 *2 point de départ de l'idée,
puis dans :
2873 = 17 * 169,
et que finalement j'ai vérifié que
4335 divisé par 17 s'écrivait 4335 = 17 *255 = 17*17*15

Je vous laisse le soin de déterminer la valeur arrondi au millième.

La procédure est la même qu'au 1 à ceci près que vous examinerez la 4e décimale pour voir quelle 3e décimale (millième) vous allez prendre.
=========================================