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01/10/2009

Je voudrais savoir la logique pour réduire une fraction ex 2/8=?

1) Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de nombre premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.. tout nombre n divisible seulement par 1 ou le nombre n lui même)

Ex : 2/8= 2/(2x2x2)

SIMPLIFIER les facteurs du numérateur qu'on retrouve au dénominateur :

  • si j’ai au numérateur un facteur p (dans l’exemple qui suit on prendra p = 2) et le même facteur au dénominateur (s’ils ont un exposant ça doit être le même exposant, s’ils ont des exposant différent il faudra utiliser la méthode suivante), je les remplace par 1
  • s’il reste des facteurs non simplifiés, comme 1 ne compte pas dans une multiplication je ne l’écrit pas; si on était sur le dernier facteur à simplifier, on est obligé de garder le 1si on travaille sur le numérateur, tandis que s’il reste 1 au dénominateur, on doit remplacer la fraction par ne nombre non fractionnaire obtenu à partir de son numérateur.

Ex sans utiliser l'élévation à la puissance :

2/8= 2/(2x2x2) =1/(2x2)= 1/4

Quand on travaille avec des exposants (élévation à la puissance indiquée par l'exposant) utiliser la formule :

a^m/a^n = a^(m-n) = 1/a^(n-m)

Rappel

a^1 = a et a^0=1 quelques soit la valeur de a


Ex: 2/8 = 2/2^3= 2^1/(2^3)=1/2^(3-1) = 1/(2^2) = 1/2² = 1/4
Ici on a remplacé a par 2, m par 1, n par 3

Le 2 du numérateur s’écrit 2^1 car a^1=a

Ensuite quand on choisi d’enlever la puissance 1 de 2 pour obtenir 2^(1-1) = 2^0 = 1 au numérateur (on a divisé par 2 le numérateur), il faut, pour ne pas changer la valeur de la fraction, diviser le dénominateur par la même quantité, ce qui revient a enlever 1 à la puissance de2 du dénominateur, d’où 2^3 doit être remplacé par 2^(3-1)=2^2=2²

17:22 Publié dans Exercices résolus | Lien permanent | Commentaires (0) | Tags : simplifier, fraction | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook | | | |  Imprimer

Simplifier f(x)=(2x-5)/(x²-6x+9)

f(x)= 2x-5 / x2-6x+9
- En ne mettant pas de parenthèse, si on veut bien comprendre x2 comme x²  ça fait
-5/x² - 4x +9

Avec des parenthèses et x2 valant x² on a f(x)=
(2x-5)/(x²-6x+9) on reconnait identité (a²-2ab +b²)=(a-b)²
=(2x-5)/(x-3)²

La fonction n'est définie que si x # 3

En posant X=x-3, il vient x= X+3, l’expression devient :

(2(X+3)-5)/X² = (2X+6-5)/X² = (2X+1)X²= 2/X+1/X²

Au final en revenant à x

f(x) = 2/(x-3) + 1/(x-3)²

14:05 Publié dans Exercices résolus, Math | Lien permanent | Commentaires (0) | Tags : simplifier, fraction algébrique | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook | | | |  Imprimer