Suite, Récurrence et progression

Soit f une fonction bijective sur l'intervalle réel [0,1] telle que f(2x-f(x)) = x

Soit U(0) un réel de [0,1] on défint la suite 

U(n) = f^n(U(0))

où f^n(x) = f(f(f(f(...(x)...))) est l'application de f sur elle même n fois au point x.

Montrer que U(n)  est une progression arithmétique.

Soit  f- la fonction inverse de f, par définition f-(f(x)) = f(f-(x)) = x sur [0,1]

L'application de f- sur les 2 membres de l'égalité

f(2x-f(x)) = x donne directement

2x -f(x) = f-(x))

soit

f(x) = 2x - f-(x) par la suite noté (1)

f étant bijecive il existe un y pour tout x, tel que x = f(y). Je peux donc poser x = f(y) pour faire apparaître des itérations de f sur elle même comme  f(f(y)) et faire disparaitre f-(x) en le remplaçant par y=f-(f(x))

2f(y) - f(f(y)) = y soit finalement  f(f(y)) = 2f(y) - y en notant f^2(y) = f(f(y)) on a :

f^2(y) = 2f(y) - y par la suite noté (2)

Je peux à nouveau choisir de prendre z tel que y = f(z) et substituer f(z) dans l'égalité ci-dessus. On obtient :

f^2(f(z)) = 2f^2(z) - f(z) par la suite noté (3)

L'égalité (2) écrite avec une variable y image par f d'un x quelconque, peux être réécrite en remplaçant la lettre y par n'importe quelle lettre représentant une variable sur [01] car f est bijective sur cet intervalle. En substituant z à y dans (2) et en transposant le f^2(z) de cette formule dans ((3), il vient  f^2(f(z)) = 2(2f(z)-z) - f(z) comme f^2(f(x))=f^3(x) on a : f^3(z) = 4f(z) -2z - f(z) soit

f^3(z) = 3f(z) - 2y par la suite noté (4)

Comme (2) l'égalité (4) peut être réécrite  avec n'importe quelle lettre. Nous faisons le choix par la suite de n'utiliser que x. Avec cette notation on aurait pu dans cette dernière étape  établir (4) en injectant F^2(x) dans (1) puis utiliser (2) comme ci-desous, pour établir la réccurence.

Démontrons que si f^n(x) = n f(x) - (n-1) x alors f^(n+1) = (n+1) f(x) - n x

Partons de f^n(x) = n f(x) - (n-1) x injectons f^n(x) dans (1) on obtient  f^(n+1)(x) = 2f^n(x) - f-(f^n(x)) = 2(nf(x) - (n-1)x - f^(n-1)(x) = 2n f(x) -2(n-1)x - (n-1) f(x) + (n-2) x  en utilisant l'hypothèse de récurrence au rang n et n-1. En simplifiant :

f^n+1(x) = [2n-(n-1)]f(x)+[- 2(n-1)+(n-2)] x = (n+1)f(x)- nx

La relation de reccurence étant établie, on peut vérifier que :

f^(n+1)(x) - f^n(x) = f(x) + x

Cette différence ne dépend pas de n. Donc une fois choisi x=U(0), U(n+1)-U(n) =f^(n+1)(U(0)) - F^n(U(0))= U(0)+f(U(0)) est constant donc la suite est une progression arithmétique.

Donner en justifiant le signe du produit de 131 nombres positifs

Donner en justifiant le signe du produit de 131 nombres positifs

Est-ce que vous avez eu l'occasion d'apprendre vos tables de multiplication. Est-ce que vous avez le souvenir d'avoir vu un nombre négatif dans ces tables ?

Vous avez certainement eu l'occasion d'apprendre comment on fait une multiplcation d'un nombre à 2, 3, 4 etc ... chiffres par un autre nombre à 1, 2, 3, 4 etc... chiffres ? Est-ce qu'en procédant comme on vous a appris vous vous souviendriez avoir obtenu un résulat négatif ?

On peut donc dire sans grand risque que le produit de 2 nombres positifs est toujours positf.

Qu'en est-il du produit de 131 nombre positifs ?

Le produit de 131 nombres positif c'est le resultat du produit du 1e par le 2e qui est un nouveau nombre positif par les 131-2 =129 nombres restants.

Je me trouve maintenant ramené à un produit de 130 nombres positif (le produit des 2 premiers suivi du produit des 129 autres)

Si je remplace à nouveau les 2 premiers nombres positifs par le résultat de leur produit, celui-ci est forcément positif, et mon produit de 130 facteurs positifs devient un produite de 129 facteurs positifs (le produit des 2 premiers suivi du produit des 128 nombres positifs restants)

En poursuivant ainsi jusqu'à ce qu'il ne reste plus que 2 facteurs positifs (le résultat positif des produits des 129 premiers) on voit qu'on ne peut obtenir qu'un résultat positif.
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Je reprends l'exercice de façon plus formelle en notant les 131 facteurs n1, n2, n3, ...... n131 supposés tous positifs
Le produit s'écrit en utilisant la règle d'associativité de la multiplication
n1*n2*n3*........*n130*n131 =
(n1*n2)*(n3*....*n130*n131)=
((n1*n2)*n3)*(n4*....*n130*n131)=
(((((..............(n1*n2)*n3)*n4* ............).*n130)*n131
Le resultat des calculs des parenthèses de gauche étant nécessairement positif avec des n1 à n130 positifs le dernier produit avec n131 positif est aussi positif.