Simplifier f(x)=(2x-5)/(x²-6x+9)

f(x)= 2x-5 / x2-6x+9
- En ne mettant pas de parenthèse, si on veut bien comprendre x2 comme x²  ça fait
-5/x² - 4x +9

Avec des parenthèses et x2 valant x² on a f(x)=
(2x-5)/(x²-6x+9) on reconnait identité (a²-2ab +b²)=(a-b)²
=(2x-5)/(x-3)²

La fonction n'est définie que si x # 3

En posant X=x-3, il vient x= X+3, l’expression devient :

(2(X+3)-5)/X² = (2X+6-5)/X² = (2X+1)X²= 2/X+1/X²

Au final en revenant à x

f(x) = 2/(x-3) + 1/(x-3)²

Factoriser (2x+7)(x-1)-4(x-1)

Règle de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition

ab + ac = ba + ca = a( b + c)
ou
ab - ac = ba - ca = a( b - c)

Si je remplace (x-1) par a, puis -4 par c, je n'ai plus qu'à remplacer b par (2x+7) pour retrouver la 2e formules qui conduit à factoriser a=(x-1).

ba-ca = a(b-c) c'est (2x+7)(x-1)-4(x-1)
c'est aussi
a(b-c) c'est à dire (x-1)[(2x+7)-4]

= (x-1)(2x+7-4)
= (x-1)(2x+3)

D'où la factorisation recherchée
(2x+7)(x-1)-4(x-1) =(x-1)(2x+3)

Inéquation (x-1)(x+2)<0, x réel

Pour que le produit soit négatif il faut qu'un des 2 facteurs soit négatif et l'autre positif. Il y a 2 combinaisons possibles:

• Produit  -par +
• Produit  + par -

(x-1)(x+2)<0

Si x-1 <0 c'est à dire x< 1, il faut x+2 >0 donc x>-2 donc :
1e solution -2< x < 1

Si x-1 > 0 c'est à dire x > 1 il faut x+2 <0 ce qui est impossible puisque si x > 1 alors x+2 > 3
Il n'y a pas de 2e solution