Tableau de variation fonction trinôme

Soit S un nombre réel donné . Parmi tous les couples(a;b) de nombres réels dont la somme est S quel est celui dont le produit P=ab est maximum?:

S=a+b

P=ab = a(S-a) = -a²+Sa doit être maximum.

Le problème peut être traité comme une étude du tableau de variation de la fonction f(a) = -a² + Sa

Le fait que le coefficient de a² soit négatif assure que la parabole passe par un maximum.

Les 2 points a qui annulent f(a) sont de façon évidente 0 et S

Pour des raisons de symétrie, le maximum est atteint au milieu de l'intervalle [0,S] c'est à dire S/2

Variante : le maximum est atteint au point où s’annule  la dérivée f’(x) = 0 soit –2a + S = 0 donc a=S/2

a=S/2 et a+b = S font que b=S/2, donc que a=b

Le produit maximum est (S/2)²

Approfondissement Wikiversité

THALES

Dans le triangle SGL,
   A est un point du coté SG,
   E est un point du coté SL,
   les droites GL et AE sont parallèles,
   et SE=5cm SL=12 cm et GL=9cm

Déterminer en justifiant la réponse, la longueur AE

Dans le triangle SGL si on a par hypothèse :
A un point du segment AG
E un point du segment SL
la droite passant par AE // à la droite passant par GL

Alors la relation de THALES est vraie et s'écrit dans ce cas de figure SA/SG = SE/SL = AE/GL

Appelons k la valeur commune des 3 fractions ci-dessus et réécrivons chaque fraction en disant qu'elle est égale à la fois à k, et la fraction utilisant les longueurs de segment connues , ou ? quand la longueur du segment n'est pas connue. On a :
k = SA/SG = ?/?
k = SE/SL = 5/12
k = AE/GL = ? /9
On peut trouver facilement AE puisque
k =5/12=AE/GL=AE/9

Je le récris cette égalité (en mettant des °°° pour que les caractères ne soient pas trop décalés comme quand on laisse des blancs)
5 °°° ° ° AE
-- = -----
12 ° ° ° 9
En multipliant par 9 à droite et à gauche, tout se passe comme si le 9 au dénominateur à droite passe au numérateur à gauche
9 * 5 °° ° °° AE * 9
----- = ------ = AE
°12 ° ° ° ° ° ° 9 °

la dernière égalité résulte de ce que multiplier AE par 9 puis diviser le résultat par 9 redonne AE.

Donc AE = 45/12 = 15 / 4 (en simplifiant par 3 en haut et en bas)
Comme tu peux le constater, on ne peut rien dire pour la fraction SA/SG, ce qui veut dire qu'on n’a aucune indication sur la direction exacte des parallèles passant par AE et GL.

Suite, Récurrence et progression

Soit f une fonction bijective sur l'intervalle réel [0,1] telle que f(2x-f(x)) = x

Soit U(0) un réel de [0,1] on défint la suite 

U(n) = f^n(U(0))

où f^n(x) = f(f(f(f(...(x)...))) est l'application de f sur elle même n fois au point x.

Montrer que U(n)  est une progression arithmétique.

Soit  f- la fonction inverse de f, par définition f-(f(x)) = f(f-(x)) = x sur [0,1]

L'application de f- sur les 2 membres de l'égalité

f(2x-f(x)) = x donne directement

2x -f(x) = f-(x))

soit

f(x) = 2x - f-(x) par la suite noté (1)

f étant bijecive il existe un y pour tout x, tel que x = f(y). Je peux donc poser x = f(y) pour faire apparaître des itérations de f sur elle même comme  f(f(y)) et faire disparaitre f-(x) en le remplaçant par y=f-(f(x))

2f(y) - f(f(y)) = y soit finalement  f(f(y)) = 2f(y) - y en notant f^2(y) = f(f(y)) on a :

f^2(y) = 2f(y) - y par la suite noté (2)

Je peux à nouveau choisir de prendre z tel que y = f(z) et substituer f(z) dans l'égalité ci-dessus. On obtient :

f^2(f(z)) = 2f^2(z) - f(z) par la suite noté (3)

L'égalité (2) écrite avec une variable y image par f d'un x quelconque, peux être réécrite en remplaçant la lettre y par n'importe quelle lettre représentant une variable sur [01] car f est bijective sur cet intervalle. En substituant z à y dans (2) et en transposant le f^2(z) de cette formule dans ((3), il vient  f^2(f(z)) = 2(2f(z)-z) - f(z) comme f^2(f(x))=f^3(x) on a : f^3(z) = 4f(z) -2z - f(z) soit

f^3(z) = 3f(z) - 2y par la suite noté (4)

Comme (2) l'égalité (4) peut être réécrite  avec n'importe quelle lettre. Nous faisons le choix par la suite de n'utiliser que x. Avec cette notation on aurait pu dans cette dernière étape  établir (4) en injectant F^2(x) dans (1) puis utiliser (2) comme ci-desous, pour établir la réccurence.

Démontrons que si f^n(x) = n f(x) - (n-1) x alors f^(n+1) = (n+1) f(x) - n x

Partons de f^n(x) = n f(x) - (n-1) x injectons f^n(x) dans (1) on obtient  f^(n+1)(x) = 2f^n(x) - f-(f^n(x)) = 2(nf(x) - (n-1)x - f^(n-1)(x) = 2n f(x) -2(n-1)x - (n-1) f(x) + (n-2) x  en utilisant l'hypothèse de récurrence au rang n et n-1. En simplifiant :

f^n+1(x) = [2n-(n-1)]f(x)+[- 2(n-1)+(n-2)] x = (n+1)f(x)- nx

La relation de reccurence étant établie, on peut vérifier que :

f^(n+1)(x) - f^n(x) = f(x) + x

Cette différence ne dépend pas de n. Donc une fois choisi x=U(0), U(n+1)-U(n) =f^(n+1)(U(0)) - F^n(U(0))= U(0)+f(U(0)) est constant donc la suite est une progression arithmétique.