THALES

Dans le triangle SGL,
   A est un point du coté SG,
   E est un point du coté SL,
   les droites GL et AE sont parallèles,
   et SE=5cm SL=12 cm et GL=9cm

Déterminer en justifiant la réponse, la longueur AE

Dans le triangle SGL si on a par hypothèse :
A un point du segment AG
E un point du segment SL
la droite passant par AE // à la droite passant par GL

Alors la relation de THALES est vraie et s'écrit dans ce cas de figure SA/SG = SE/SL = AE/GL

Appelons k la valeur commune des 3 fractions ci-dessus et réécrivons chaque fraction en disant qu'elle est égale à la fois à k, et la fraction utilisant les longueurs de segment connues , ou ? quand la longueur du segment n'est pas connue. On a :
k = SA/SG = ?/?
k = SE/SL = 5/12
k = AE/GL = ? /9
On peut trouver facilement AE puisque
k =5/12=AE/GL=AE/9

Je le récris cette égalité (en mettant des °°° pour que les caractères ne soient pas trop décalés comme quand on laisse des blancs)
5 °°° ° ° AE
-- = -----
12 ° ° ° 9
En multipliant par 9 à droite et à gauche, tout se passe comme si le 9 au dénominateur à droite passe au numérateur à gauche
9 * 5 °° ° °° AE * 9
----- = ------ = AE
°12 ° ° ° ° ° ° 9 °

la dernière égalité résulte de ce que multiplier AE par 9 puis diviser le résultat par 9 redonne AE.

Donc AE = 45/12 = 15 / 4 (en simplifiant par 3 en haut et en bas)
Comme tu peux le constater, on ne peut rien dire pour la fraction SA/SG, ce qui veut dire qu'on n’a aucune indication sur la direction exacte des parallèles passant par AE et GL.