Les études, à quoi ça sert ?

Soit S un nombre réel donné . Parmi tous les couples(a;b) de nombres réels dont la somme est S quel est celui dont le produit P=ab est maximum?:

S=a+b

P=ab = a(S-a) = -a²+Sa doit être maximum.

Le problème peut être traité comme une étude du tableau de variation de la fonction f(a) = -a² + Sa

Le fait que le coefficient de a² soit négatif assure que la parabole passe par un maximum.

Les 2 points a qui annulent f(a) sont de façon évidente 0 et S

Pour des raisons de symétrie, le maximum est atteint au milieu de l'intervalle [0,S] c'est à dire S/2

Variante : le maximum est atteint au point où s’annule  la dérivée f’(x) = 0 soit –2a + S = 0 donc a=S/2

a=S/2 et a+b = S font que b=S/2, donc que a=b

Le produit maximum est (S/2)²

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