Suite, Récurrence et progression

Soit f une fonction bijective sur l'intervalle réel [0,1] telle que f(2x-f(x)) = x

Soit U(0) un réel de [0,1] on défint la suite 

U(n) = f^n(U(0))

où f^n(x) = f(f(f(f(...(x)...))) est l'application de f sur elle même n fois au point x.

Montrer que U(n)  est une progression arithmétique.

Soit  f- la fonction inverse de f, par définition f-(f(x)) = f(f-(x)) = x sur [0,1]

L'application de f- sur les 2 membres de l'égalité

f(2x-f(x)) = x donne directement

2x -f(x) = f-(x))

soit

f(x) = 2x - f-(x) par la suite noté (1)

f étant bijecive il existe un y pour tout x, tel que x = f(y). Je peux donc poser x = f(y) pour faire apparaître des itérations de f sur elle même comme  f(f(y)) et faire disparaitre f-(x) en le remplaçant par y=f-(f(x))

2f(y) - f(f(y)) = y soit finalement  f(f(y)) = 2f(y) - y en notant f^2(y) = f(f(y)) on a :

f^2(y) = 2f(y) - y par la suite noté (2)

Je peux à nouveau choisir de prendre z tel que y = f(z) et substituer f(z) dans l'égalité ci-dessus. On obtient :

f^2(f(z)) = 2f^2(z) - f(z) par la suite noté (3)

L'égalité (2) écrite avec une variable y image par f d'un x quelconque, peux être réécrite en remplaçant la lettre y par n'importe quelle lettre représentant une variable sur [01] car f est bijective sur cet intervalle. En substituant z à y dans (2) et en transposant le f^2(z) de cette formule dans ((3), il vient  f^2(f(z)) = 2(2f(z)-z) - f(z) comme f^2(f(x))=f^3(x) on a : f^3(z) = 4f(z) -2z - f(z) soit

f^3(z) = 3f(z) - 2y par la suite noté (4)

Comme (2) l'égalité (4) peut être réécrite  avec n'importe quelle lettre. Nous faisons le choix par la suite de n'utiliser que x. Avec cette notation on aurait pu dans cette dernière étape  établir (4) en injectant F^2(x) dans (1) puis utiliser (2) comme ci-desous, pour établir la réccurence.

Démontrons que si f^n(x) = n f(x) - (n-1) x alors f^(n+1) = (n+1) f(x) - n x

Partons de f^n(x) = n f(x) - (n-1) x injectons f^n(x) dans (1) on obtient  f^(n+1)(x) = 2f^n(x) - f-(f^n(x)) = 2(nf(x) - (n-1)x - f^(n-1)(x) = 2n f(x) -2(n-1)x - (n-1) f(x) + (n-2) x  en utilisant l'hypothèse de récurrence au rang n et n-1. En simplifiant :

f^n+1(x) = [2n-(n-1)]f(x)+[- 2(n-1)+(n-2)] x = (n+1)f(x)- nx

La relation de reccurence étant établie, on peut vérifier que :

f^(n+1)(x) - f^n(x) = f(x) + x

Cette différence ne dépend pas de n. Donc une fois choisi x=U(0), U(n+1)-U(n) =f^(n+1)(U(0)) - F^n(U(0))= U(0)+f(U(0)) est constant donc la suite est une progression arithmétique.