Suite, Récurrence et progression

Soit f une fonction bijective sur l'intervalle réel [0,1] telle que f(2x-f(x)) = x

Soit U(0) un réel de [0,1] on défint la suite 

U(n) = f^n(U(0))

où f^n(x) = f(f(f(f(...(x)...))) est l'application de f sur elle même n fois au point x.

Montrer que U(n)  est une progression arithmétique.

Soit  f- la fonction inverse de f, par définition f-(f(x)) = f(f-(x)) = x sur [0,1]

L'application de f- sur les 2 membres de l'égalité

f(2x-f(x)) = x donne directement

2x -f(x) = f-(x))

soit

f(x) = 2x - f-(x) par la suite noté (1)

f étant bijecive il existe un y pour tout x, tel que x = f(y). Je peux donc poser x = f(y) pour faire apparaître des itérations de f sur elle même comme  f(f(y)) et faire disparaitre f-(x) en le remplaçant par y=f-(f(x))

2f(y) - f(f(y)) = y soit finalement  f(f(y)) = 2f(y) - y en notant f^2(y) = f(f(y)) on a :

f^2(y) = 2f(y) - y par la suite noté (2)

Je peux à nouveau choisir de prendre z tel que y = f(z) et substituer f(z) dans l'égalité ci-dessus. On obtient :

f^2(f(z)) = 2f^2(z) - f(z) par la suite noté (3)

L'égalité (2) écrite avec une variable y image par f d'un x quelconque, peux être réécrite en remplaçant la lettre y par n'importe quelle lettre représentant une variable sur [01] car f est bijective sur cet intervalle. En substituant z à y dans (2) et en transposant le f^2(z) de cette formule dans ((3), il vient  f^2(f(z)) = 2(2f(z)-z) - f(z) comme f^2(f(x))=f^3(x) on a : f^3(z) = 4f(z) -2z - f(z) soit

f^3(z) = 3f(z) - 2y par la suite noté (4)

Comme (2) l'égalité (4) peut être réécrite  avec n'importe quelle lettre. Nous faisons le choix par la suite de n'utiliser que x. Avec cette notation on aurait pu dans cette dernière étape  établir (4) en injectant F^2(x) dans (1) puis utiliser (2) comme ci-desous, pour établir la réccurence.

Démontrons que si f^n(x) = n f(x) - (n-1) x alors f^(n+1) = (n+1) f(x) - n x

Partons de f^n(x) = n f(x) - (n-1) x injectons f^n(x) dans (1) on obtient  f^(n+1)(x) = 2f^n(x) - f-(f^n(x)) = 2(nf(x) - (n-1)x - f^(n-1)(x) = 2n f(x) -2(n-1)x - (n-1) f(x) + (n-2) x  en utilisant l'hypothèse de récurrence au rang n et n-1. En simplifiant :

f^n+1(x) = [2n-(n-1)]f(x)+[- 2(n-1)+(n-2)] x = (n+1)f(x)- nx

La relation de reccurence étant établie, on peut vérifier que :

f^(n+1)(x) - f^n(x) = f(x) + x

Cette différence ne dépend pas de n. Donc une fois choisi x=U(0), U(n+1)-U(n) =f^(n+1)(U(0)) - F^n(U(0))= U(0)+f(U(0)) est constant donc la suite est une progression arithmétique.

Système d'équations pour un partage en parts inégales

Partager 2150 en 3 personnes pour que la première ait le double de la seconde plus 100 euros et la troisième 50 euros de plus que la seconde.

Je distribue x à la 1e, y à la 2e, z à la 3e personne.
Le total que je distrbue est :
2150 = x+y+z

En outre on veut que :
x = 2y +100 la 1e a le double de la 2e + 100
z = y + 50 la 3e à 50 de plus que la 2e

On a un système de 3 équations à 3 inconnues
x + y + z =2150
x - 2y = 100
y - z = - 50

Ajouter ligne 3 et 1 fait disparaitre z
x+2y = 2150-50 = 2100
Ajouter ligne 2 a la ligne où on vient de faire disparaitre z fait disparaite 2x, x peut être calculé.
2x = 2100 +100 = 2200 donc x = 1100
En suite on calcule y avec la ligne 2
Puis z avec la ligne 3
A vous de finir 

Calculer A(x) =5*(x+3) quand 5x=12

Calculer  A(x) =5*(x+3) quand 5x=12
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Je dois d'abord calculer x avec l'égalité 5x = 12

Si je multiplie un nombre quelconque x par 5 j'obtient 5x
Si je divise 5x par 5, c'est comme si je n'avais rien fait car je retrouve x

Quand j'écris une égalité

5x = 12

j'ai le droit de transformer cette égalité de nombreuses façons en faisant subir à la partie gauche et à la partie droite de l'égalité les mêmes opérations.

Dans notre cas si je divise à gauche 5x par 5 je sais que je retrouve 5,
mais pour conserver l'égalité je dois faire pareil à droite, j'obtiens donc en utilisant un format de fraction à la place du signe de division

x = 12 :5 = 12/5

Avec cette valeur de x=12/5 je peux maintenant calculer A(12/5) en remplaçant x par 12/5 dans A(x). Pour cela je passe du modèle A(x) = 5*(x+3)
à A(12/5)=5(12/5+3) en substituant x par la valeur 12/5.

La règle de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition
a(b+c) = ab+bc donne en remplaçant a par 5, b par 12/5 et c par 3
A(12/5) =5(12/5+3) soit encore
A(12/5) =5*12/5 + 3*5 = 12 +15 = 27 qui est le résultat cherché.

Noter que 5*12/5 = 12 car c'est encore une fois prendre 12 le multiplier par 5 puis rediviser le résultat par 5, donc retrouver 12.

On peut dire aussi que 5*12/5 =(5*12)/5 et utiliser la règle de simplification des fractions que je suggère de réviser si déjà étudiée (voir par exemple http://etudes-au-college.hautetfort.com/archive/2009/10/0...)