2 Méthodes pour Résoudre (1/u+1/v)=a et uv=b

1e méthode

Système d'équations :
A: (1/u) + (1/v) =5
B: uv=1/6

Démarche

Utiliser l’équation B pour exprimer v en fonction de u et le substituer dans l’équation A par son expression équivalente

On obtient une équation du second degré en u assez simple à résoudre.

Remarque : Il est recommandé en général, d’essayer d’utiliser des solutions évidentes xo, x1… de f(x)=0 pour factoriser l’expression algébrique sous la forme
f(x)=(x-x0)(x-x1). .. g(x)

Résolution effective

On a, dans B : u*v = 1/6 => v=1/(6*u)
Remplacer v dans l'équation A donne :
1/u + 1/(1/(6*u))=5
1/u + 6u = 5
En multipliant les deux membres de l’équation par u, 
u*(1/u+ 6u)=u*5
on obtient une équation du second degré en u :
1 + 6u²=5u
6u²-5u+1=0

Pas de solution triviale, utiliser les formules de l’équation du 2e degré

Discriminant =1, u1=+4/12=+1/3, u2=+6/12=+1/2
En parallèle        v1=+1/2               v2=+1/3

2e méthode

Ici, plutôt que de se lancer dans une résolution classique comme comme ci-dessus, on essaye de raisonner sur l’énoncé pour mettre en évidence les acquis du cours.

Démarche

On voit que mettre les fractions de (1/u + 1/v)=b au même dénominateur permet de faire apparaitre la somme et le produit de u et v

On sait par ailleurs que les 2 nombres  de produit P=uv et de somme S=u+v, sont solution de l’équation du 2e degré x²-Sx+P=0

En effet si x=u ou x=v
(x-u)(x-v)= 0 c’est dire
x²-(u+v)x+uv =0 soit x²-Sx+P=0

Résolution effective

En mettant les fractions au même dénominateur A s’écrit (v+u)/uv=5 comme uv=1/6 on aura au final :

(v+u)=5/6
uv=1/6

Avec S=5/6 et P=1/6 l’équation du 2e degré qui a pour solutions u et v s’écrit :
x²-5/6x+1/6 = 0
Soit encore en multipliant tout par 6
6x²-5x+1  = 0

Discriminant=1, 
Racines de l’équation  x1=+4/12=+1/3 et x2=+6/12=+1/2

Les solutions sont donc
1) u=x1 et v=x2
2) u=x2 et v=x1

Solution générale de (1/u) + (1/v) =a et  uv=b

x1  = (ab – RacineCarré(b) * RacineCarré(a²b-4))/2

x2 = (ab  + RacineCarré(b) * RacineCarré(a²b-4))/2

Entiers relatifs (4e)

Ex1: Déterminer deux nombres entiers relatifs dont la somme est égale à 1 et la différence est égale à 3
Ex2: Défi lancé par le prof  :

Parcourir le tableau suivant

D	-2	+4
+3	-5	+7
-1	+6	A

pour aller de D à F se déplaçant uniquement vers une case qui a 1 coté commun avec celle sur laquelle on se trouve - Ex: on peut aller de D à la case -2, mais pas de D à la case –5.
De plus on ne doit jamais passer 2 fois par la même case.

Au passage multiplier tous les nombres rencontrés pendant un trajet .

L'élève qui aura le plus grand nombre de résultats différents a gagne.
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Exercice 1 (à lire attentivement pour terminer le travail en 5 lignes)

Supposer que m et n sont les entiers relatifs qui vérifient les contraintes de somme et de différence.

Il faut traduire l'énoncé en écrivant que
la somme exprimée sous forme de formule avec m et  = 1
Idem avec différence = 3

On obtient 2 égalités qu'il convient d'écrire l'une sous l'autre, avec 2 inconnues m et n mise de préférence dans le même ordre, toutes 2 à gauche du signe égal.

On aimerait bien n'avoir qu'une seule égalité avec une seule inconnue. L'ordre qu'on a mis dans la présentation va nous y aider.

On sait qu'on ne change pas une égalité si on fait subir la même "transformation" à sa partie gauche et à sa partie droite.

Les "transformations" les plus usuelles sont
- ajouter ou retrancher une même quantité
- multiplier ou diviniser par une même quantité non nulle
Cela peut être aussi
- prendre 2 égalité comme celles que tu as établies et obtenir une nouvelle égalité avec pour partie gauche la somme des parties gauche, et partie droite la somme des parties droites.

[Remarque : Même possibilité en  remplaçant "somme", par soustraction, multiplication ou division (en faisant attention d'interdire les divisions par 0)]

Après avoir fabriqué la nouvelle égalité en faisant la somme des 2 égalités précédentes comme décrit ci-dessus, en regroupant les variables, il y en a une des 2 qui va disparaitre (quelque soit x-x = 0, et 0 ne changeant pas une somme algébrique on l'élimine)

Pour trouver la valeur de la variable qui subsiste dans l'égalité simplifiée, il suffira d'appliquer la règle rappelé ci-dessus en divisant les 2 membres de l'égalité par le coefficient de la variable à trouver.

Une fois la valeur de cette variable calculé, le calcul de l'autre variable se fait en repartant de l'énoncé.

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Exercice 2

Bravo tu as trouvé un des chemins utilisant les 9 cases (je compte D et A), et tes produits sont exacts.

Je me demande toutefois, si ce ne sont pas les résultats successifs que tu dois multiplier par la nouvelle case choisie. Par exemple avec le parcours que tu as choisi :
-2*+4=-8 ; –8*+7=-56 ; -56x-5=+280 ; 280*+3=840 ; 840*-1=-840; -840*+6=-5040

Si tu veux arriver à dépasser les 10 possibilités que le meilleur élève a trouvées, je te suggère :

1) D'essayer de compter combien il y a  de chemins en passant par 9 cases, puis 8, puis 7, puis 6, puis 5 etc... (il y a beaucoup de cas avec 0 possibilités)

2) Pour cela, faire des schémas stylisés des différents chemins sans faire les calculs, ni même mettre les nombres des case (tu feras ça quand tu auras trouvé assez de chemins) :

Exemple je représente le chemin à 9 cases  que tu as choisi de la façon suivante (considère les bulles comme des blancs, elles servent à ce que | ne se décale pas) :
D-x-x
°°°°|
x-x-x
|
x-x-F
(Cheminement horizontal prioritaire)

On peut obtenir un 2e chemin à 9 cases
D°x-x
|°|°|
x-x-x
|°|°|
x-x°F
(cheminement vertical prioritaire)

Il n'y a pas d'autre chemins à 9 cases possibles car D,-2-5 exclurait +4 et D,+3,-5 exclurait -1, donc on ne serait pas dans un cas à 9 cases.

Je trouve
0 chemins avec moins de 5 case
6 chemins avec 5 cases
0 chemins avec 6 cases
3 chemins avec 7 cases (je liste celui qui m'a paru le moins évident)
A°X-X
|°|°|
X-X°X
°°°°|
°°°°F
0  chemin avec 8 cases
2 chemins avec 9 cases

Moi je suis à 11. Les as-tu trouvé ?

Tableau de variation fonction trinôme

Soit S un nombre réel donné . Parmi tous les couples(a;b) de nombres réels dont la somme est S quel est celui dont le produit P=ab est maximum?:

S=a+b

P=ab = a(S-a) = -a²+Sa doit être maximum.

Le problème peut être traité comme une étude du tableau de variation de la fonction f(a) = -a² + Sa

Le fait que le coefficient de a² soit négatif assure que la parabole passe par un maximum.

Les 2 points a qui annulent f(a) sont de façon évidente 0 et S

Pour des raisons de symétrie, le maximum est atteint au milieu de l'intervalle [0,S] c'est à dire S/2

Variante : le maximum est atteint au point où s’annule  la dérivée f’(x) = 0 soit –2a + S = 0 donc a=S/2

a=S/2 et a+b = S font que b=S/2, donc que a=b

Le produit maximum est (S/2)²

Approfondissement Wikiversité