Triangle rectangle – Surface - Th Pythagore

TRIANGLE EVU RECTANGLE EN V TEL QUE
VE =5 CM ET DONT L’AIRE =15 CM2

CALCULER VU, PUIS EU

ON APPELLE C LE PIED DE LA HAUTEUR ISSUE DE V;
CALCULER CV

1) Un triangle rectangle c'est la moitié du rectangle construit avec les cotés du triangle rectangle pour longueur et largeur.
La surface du rectangle 30 cm² (double du triangle rectangle) est le produit de sa longueur par sa largeur qui est le côté du rectangle de 5 cm
La longueur du rectangle qui est aussi le côté VU du triangle rectangle est donc
30 cm² : 5 cm = 6 cm

2) Dans le triangle rectangle EVU rectangle en V d'hypoténuse EU on a la relation de Pythagore :
EU² = VE² + VU²
Avec les valeurs numériques :
EU² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
EU = racine carré de 61

3) La surface d'un triangle est définie comme la moitié du produit d'une de ses hauteurs par la base correspondante
SI on prend la hauteur VC, la formule dit
15 cm² = (CV * EU) /2

Ce qui équivaut à
30 cm² = CV * EU
soit encore
CV = 30 / (racine carré de 61)

Théorème de Pythagore : une démonstration animée
Un cartoon de Poincare

THALES

Dans le triangle SGL,
   A est un point du coté SG,
   E est un point du coté SL,
   les droites GL et AE sont parallèles,
   et SE=5cm SL=12 cm et GL=9cm

Déterminer en justifiant la réponse, la longueur AE

Dans le triangle SGL si on a par hypothèse :
A un point du segment AG
E un point du segment SL
la droite passant par AE // à la droite passant par GL

Alors la relation de THALES est vraie et s'écrit dans ce cas de figure SA/SG = SE/SL = AE/GL

Appelons k la valeur commune des 3 fractions ci-dessus et réécrivons chaque fraction en disant qu'elle est égale à la fois à k, et la fraction utilisant les longueurs de segment connues , ou ? quand la longueur du segment n'est pas connue. On a :
k = SA/SG = ?/?
k = SE/SL = 5/12
k = AE/GL = ? /9
On peut trouver facilement AE puisque
k =5/12=AE/GL=AE/9

Je le récris cette égalité (en mettant des °°° pour que les caractères ne soient pas trop décalés comme quand on laisse des blancs)
5 °°° ° ° AE
-- = -----
12 ° ° ° 9
En multipliant par 9 à droite et à gauche, tout se passe comme si le 9 au dénominateur à droite passe au numérateur à gauche
9 * 5 °° ° °° AE * 9
----- = ------ = AE
°12 ° ° ° ° ° ° 9 °

la dernière égalité résulte de ce que multiplier AE par 9 puis diviser le résultat par 9 redonne AE.

Donc AE = 45/12 = 15 / 4 (en simplifiant par 3 en haut et en bas)
Comme tu peux le constater, on ne peut rien dire pour la fraction SA/SG, ce qui veut dire qu'on n’a aucune indication sur la direction exacte des parallèles passant par AE et GL.

Suite, Récurrence et progression

Soit f une fonction bijective sur l'intervalle réel [0,1] telle que f(2x-f(x)) = x

Soit U(0) un réel de [0,1] on défint la suite 

U(n) = f^n(U(0))

où f^n(x) = f(f(f(f(...(x)...))) est l'application de f sur elle même n fois au point x.

Montrer que U(n)  est une progression arithmétique.

Soit  f- la fonction inverse de f, par définition f-(f(x)) = f(f-(x)) = x sur [0,1]

L'application de f- sur les 2 membres de l'égalité

f(2x-f(x)) = x donne directement

2x -f(x) = f-(x))

soit

f(x) = 2x - f-(x) par la suite noté (1)

f étant bijecive il existe un y pour tout x, tel que x = f(y). Je peux donc poser x = f(y) pour faire apparaître des itérations de f sur elle même comme  f(f(y)) et faire disparaitre f-(x) en le remplaçant par y=f-(f(x))

2f(y) - f(f(y)) = y soit finalement  f(f(y)) = 2f(y) - y en notant f^2(y) = f(f(y)) on a :

f^2(y) = 2f(y) - y par la suite noté (2)

Je peux à nouveau choisir de prendre z tel que y = f(z) et substituer f(z) dans l'égalité ci-dessus. On obtient :

f^2(f(z)) = 2f^2(z) - f(z) par la suite noté (3)

L'égalité (2) écrite avec une variable y image par f d'un x quelconque, peux être réécrite en remplaçant la lettre y par n'importe quelle lettre représentant une variable sur [01] car f est bijective sur cet intervalle. En substituant z à y dans (2) et en transposant le f^2(z) de cette formule dans ((3), il vient  f^2(f(z)) = 2(2f(z)-z) - f(z) comme f^2(f(x))=f^3(x) on a : f^3(z) = 4f(z) -2z - f(z) soit

f^3(z) = 3f(z) - 2y par la suite noté (4)

Comme (2) l'égalité (4) peut être réécrite  avec n'importe quelle lettre. Nous faisons le choix par la suite de n'utiliser que x. Avec cette notation on aurait pu dans cette dernière étape  établir (4) en injectant F^2(x) dans (1) puis utiliser (2) comme ci-desous, pour établir la réccurence.

Démontrons que si f^n(x) = n f(x) - (n-1) x alors f^(n+1) = (n+1) f(x) - n x

Partons de f^n(x) = n f(x) - (n-1) x injectons f^n(x) dans (1) on obtient  f^(n+1)(x) = 2f^n(x) - f-(f^n(x)) = 2(nf(x) - (n-1)x - f^(n-1)(x) = 2n f(x) -2(n-1)x - (n-1) f(x) + (n-2) x  en utilisant l'hypothèse de récurrence au rang n et n-1. En simplifiant :

f^n+1(x) = [2n-(n-1)]f(x)+[- 2(n-1)+(n-2)] x = (n+1)f(x)- nx

La relation de reccurence étant établie, on peut vérifier que :

f^(n+1)(x) - f^n(x) = f(x) + x

Cette différence ne dépend pas de n. Donc une fois choisi x=U(0), U(n+1)-U(n) =f^(n+1)(U(0)) - F^n(U(0))= U(0)+f(U(0)) est constant donc la suite est une progression arithmétique.