Biostatistiques - Que dit la loi normale ?

- que les valeurs d'une grandeur observée ou mesurée sur une population se groupent autour d'une valeur moyenne

- que les valeurs mesurées qui s'écartent de plus en plus de la moyenne sont les moins fréquentes: la probabilité d'un écart grand décroit d'autant plus rapidement  que cet écart par rapport à la moyenne est plus grand.

- que si on porte dans un repère orthonormé, en abscisse les mesures, en ordonnée la fréquence d'une mesure donnée dans la population étudiée, la courbe obtenue est une courbe en cloche où le maximum est atteint pour une valeur de l'abscisse d'autant plus proche de la moyenne que la courbe se rapproche de la courbe de GAUSS caractéristique de la loi de probabilités dite loi normale.

- Quand on construit une courbe de fréquence des mesures comme ci-dessus, la forme en cloche permet de dire que la population étudiée est homogène vis à vis de la grandeur mesurée.

- Si au contraire on obtient une courbe avec plusieurs maxima (pluriel de maximum), la population étudiée n'est pas homogène, on peut assez souvent  diviser la population en autant de sous groupes que de maxima, chacun de ces groupes donnant un courbe qui se rapprochent de la courbe en cloche.

- La loi normale définie à partir d’estimations de la moyenne des mesures sur la population et de la moyenne des écarts au carré par rapport à la moyenne (la variance) de ces mesures,  permet de construire une courbe de GAUSS qu’on peut compare à la loi empirique obtenue avec les données rapportées à un repère orthonormé comme décrit ci-dessus, pour savoir ci cette dernière peut être correctement approximée  par une loi normale.

Déterminer le reste de la division euclidienne de 34 puissance 57 par 11

34 = 11 *3 +1
Le reste de la division de 34 par 11 est 1, ce qui se traduit en relation de congruence modulo 11 :
34 = 1 (modulo 11)

En appliquant la règle 3 ci-dessous on trouve facilement le résultat. pour 34 puissance 57

Règles :

Avec a, b , a', b', q, k , n entiers tels que
a' reste de a dans division par n c'est à dire a = q*n +a'
(q étant ici le quotient)
b' reste de b dans division par n c'est à dire b =  k*n +b'
(k étant ici le quotient)
par définition on a
a = a' (modulo n)
b = b' (modulo n)
et on a les règles :
1) a+b = a' + b' (modulo n) 
2) a*b = a'*b' (modulo n)
3) a^m= m a' (modulo n) en notant a ^m = a puissance m

Si on a donc
34 = 1 (modulo 11) la règle 3 donne :
34^57 = 57 * 1 (modulo 11) = 57 (modulo 11)
comme  57 = 5 * 11 + 2 soit  encore 57 = 2 (modulo 11)
on a finalement
34^57 = 57 (modulo 11) = 2 (modulo 11) qui traduit que le reste de la division par 11 de 34 puissance 57 est 2

Calculer le quotient de la différence de (-12) et de (-2) par (-5) – classe 6e

Le résultat est +2

Ecrire la soustraction avec les nombres entre parenthèses

Appliquer la règle de suppression des parenthèses (voir en bas)

Faire ce calcul, le résultat est négatif.

Faire la division, les 2 termes étant négatifs, le résultat sera positif. Voir règle des signes  ci-dessous)

Règle de suppression des parenthèses:

( ...) je supprime les parenthèse 
+(+...) ou +(-...)
je supprime 1e signe + devant la 1e parenthèse puis je supprime la 2e parenthèse, sans rien changer entre 3es 2

-(+...)  ou  -(-...)
je supprime 1e signe - devant la 1e parenthèse puis je supprime la 2e parenthèse, en changeant entre 3 les 2 les + en - et 3es - en + (sauf ceux qui seraient à l'intérieur d'une nouvelle paire de parenthèse imbriquée).

Règle des signes :

Le produit de 2 nombres de même signe (positif ou négatif) est positif
Le produit de 2 nombres de signes différents (l'un positif, l'autre négatif, quelque soit l'ordre) est négatif