Trouver la limite de (x-1)/(x-racine x) quand x tend vers 1

En gardant la notation racine x :

x = (racine x)²

Je met en facteur (racine x) au dénominateur :
(x-1) / [(racine x) (racine x -1)]

Comme
(1+racine x)(1-racine x) = (1-x)
(1+racine x)(-1+racine x)=(x-1)

je multiplie en haut et en bas par (racine x+1)
et j'applique (a-b)(a+b) = (a²-b²) au dénominateur pour faire apparaitre (x-1)

(x-1)(racine x+1) / [ (racine x) (x-1) ]

Si x# 1 division possible du numérateur par (x-1),
(x-1) peut être simplifié en haut et en bas, il reste
(racine x+1) / (racine x)

Si x#0, division possible par racine x non nul d'où
(racine x +1)/(racine x) = 1 + 1/(racine x)

quand x -> 1,
limite(x-1)/(x-racine x) = limite 1+ 1/(racine x) -> 2
1 sur racine de 1 faisant 1.

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Remarque hors cours :

(racine x) = x^(1/2) où ^ symbole d’élévation à la puissance

Les puissances 1/n sont des racines n-ième d'un nombre.

On généralise ainsi les règles a^n.a^m = a^(m+n) etc.. qui s'appiquent avec n entier relatif

Rappel :

Les puissances négatives -n sont des inverses de puissance
n-ième donc 1/ nombre à puissance n

Factoriser 9-(x+2)²

Utiliser identité remarquable
a²-b² = (a+b)(a-b)

Remplacer
a par 3
b par x+2

Quand on remplace  a par 3 alors
a² = 9
Quand on remplace  b par (x+2) alors
b² = (x+2)²

a²-b² = 9 - (x+2)² qui est l'expression de départ

Comme (règle de cours)
a²-b² = (a+b)(a-b)
j'obtiens une factorisation que je n'ai plus qu'à traduire
en faisant les substitutions de a et b dans la partie droite de l'égalité :

a+b=3+(x+2) = x + 5 = (x+5)
a- b =3-(x+2) attention de garder ou mettre des parenthèses après -
a - b = 3 - x - 2 (règle des signes quand on enlève parenthèses)
a-b=(-x+1)

En récapitulant
9-(x+2)²  =(x+5)(-x+1)

Longueur du côté d’un losange connaissant se diagonales

LOGE est un losange tel que :
LG=54mm et OE=72mm on appelle I le point d'intersection de ses diagonales.
Calculer la longueur de chaqu'un de ses côtés

On vous donne la longueur des 2 diagonales
Propriétés des diagonales d'un losange
http://fr.wikipedia.org/wiki/Losange
- elles se coupent en leur milieu I et sont perpendiculaires
Appliquer Pythagore sur un des 4 triangles rectangles de sommet I formés par 2 moities de diagonales et un coté du losange.
Ce coté du losange est l'hypoténuse de ce triangle rectangle
On trouve longueur du coté = 45 mm