Système d'équations pour un partage en parts inégales

Partager 2150 en 3 personnes pour que la première ait le double de la seconde plus 100 euros et la troisième 50 euros de plus que la seconde.

Je distribue x à la 1e, y à la 2e, z à la 3e personne.
Le total que je distrbue est :
2150 = x+y+z

En outre on veut que :
x = 2y +100 la 1e a le double de la 2e + 100
z = y + 50 la 3e à 50 de plus que la 2e

On a un système de 3 équations à 3 inconnues
x + y + z =2150
x - 2y = 100
y - z = - 50

Ajouter ligne 3 et 1 fait disparaitre z
x+2y = 2150-50 = 2100
Ajouter ligne 2 a la ligne où on vient de faire disparaitre z fait disparaite 2x, x peut être calculé.
2x = 2100 +100 = 2200 donc x = 1100
En suite on calcule y avec la ligne 2
Puis z avec la ligne 3
A vous de finir 

Calculer A(x) =5*(x+3) quand 5x=12

Calculer  A(x) =5*(x+3) quand 5x=12
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Je dois d'abord calculer x avec l'égalité 5x = 12

Si je multiplie un nombre quelconque x par 5 j'obtient 5x
Si je divise 5x par 5, c'est comme si je n'avais rien fait car je retrouve x

Quand j'écris une égalité

5x = 12

j'ai le droit de transformer cette égalité de nombreuses façons en faisant subir à la partie gauche et à la partie droite de l'égalité les mêmes opérations.

Dans notre cas si je divise à gauche 5x par 5 je sais que je retrouve 5,
mais pour conserver l'égalité je dois faire pareil à droite, j'obtiens donc en utilisant un format de fraction à la place du signe de division

x = 12 :5 = 12/5

Avec cette valeur de x=12/5 je peux maintenant calculer A(12/5) en remplaçant x par 12/5 dans A(x). Pour cela je passe du modèle A(x) = 5*(x+3)
à A(12/5)=5(12/5+3) en substituant x par la valeur 12/5.

La règle de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition
a(b+c) = ab+bc donne en remplaçant a par 5, b par 12/5 et c par 3
A(12/5) =5(12/5+3) soit encore
A(12/5) =5*12/5 + 3*5 = 12 +15 = 27 qui est le résultat cherché.

Noter que 5*12/5 = 12 car c'est encore une fois prendre 12 le multiplier par 5 puis rediviser le résultat par 5, donc retrouver 12.

On peut dire aussi que 5*12/5 =(5*12)/5 et utiliser la règle de simplification des fractions que je suggère de réviser si déjà étudiée (voir par exemple http://etudes-au-college.hautetfort.com/archive/2009/10/0...)

Je voudrais savoir la logique pour réduire une fraction ex 2/8=?

1) Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de nombre premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.. tout nombre n divisible seulement par 1 ou le nombre n lui même)

Ex : 2/8= 2/(2x2x2)

SIMPLIFIER les facteurs du numérateur qu'on retrouve au dénominateur :

• si j’ai au numérateur un facteur p (dans l’exemple qui suit on prendra p = 2) et le même facteur au dénominateur (s’ils ont un exposant ça doit être le même exposant, s’ils ont des exposant différent il faudra utiliser la méthode suivante), je les remplace par 1
• s’il reste des facteurs non simplifiés, comme 1 ne compte pas dans une multiplication je ne l’écrit pas; si on était sur le dernier facteur à simplifier, on est obligé de garder le 1si on travaille sur le numérateur, tandis que s’il reste 1 au dénominateur, on doit remplacer la fraction par ne nombre non fractionnaire obtenu à partir de son numérateur.

Ex sans utiliser l'élévation à la puissance :

2/8= 2/(2x2x2) =1/(2x2)= 1/4

Quand on travaille avec des exposants (élévation à la puissance indiquée par l'exposant) utiliser la formule :

a^m/a^n = a^(m-n) = 1/a^(n-m)

Rappel

a^1 = a et a^0=1 quelques soit la valeur de a

Ex: 2/8 = 2/2^3= 2^1/(2^3)=1/2^(3-1) = 1/(2^2) = 1/2² = 1/4
Ici on a remplacé a par 2, m par 1, n par 3

Le 2 du numérateur s’écrit 2^1 car a^1=a

Ensuite quand on choisi d’enlever la puissance 1 de 2 pour obtenir 2^(1-1) = 2^0 = 1 au numérateur (on a divisé par 2 le numérateur), il faut, pour ne pas changer la valeur de la fraction, diviser le dénominateur par la même quantité, ce qui revient a enlever 1 à la puissance de2 du dénominateur, d’où 2^3 doit être remplacé par 2^(3-1)=2^2=2²