Disparition des espèces et PAGERANK de GOOGLE

Le modèle de calcul du PAGERANK de GOOGLE évoqué dans L'idée de génie de Google : résoudre un système de n équations à n inconnues  permet d’attribuer aux pages WEB, un poids  fonction de leur importance mesurée en comptant les liens hypertextes qui pointent d’une page à l’autre.

Les biologistes de l'université de Californie à Santa Barbara, ont eu l’idée de reprendre ce concept pour modéliser l’interdépendance des espèces et étudier ce qui se passe dans la chaine alimentaire quand un certains nombre d’entre elles disparaissent...

Ecoutez l’extrait de l’émission “Toile du Web” passée sur France Culture ce 2 octobre 2009 pour en apprendre un tout petit peu plus…

Tableau de variation fonction trinôme

Soit S un nombre réel donné . Parmi tous les couples(a;b) de nombres réels dont la somme est S quel est celui dont le produit P=ab est maximum?:

S=a+b

P=ab = a(S-a) = -a²+Sa doit être maximum.

Le problème peut être traité comme une étude du tableau de variation de la fonction f(a) = -a² + Sa

Le fait que le coefficient de a² soit négatif assure que la parabole passe par un maximum.

Les 2 points a qui annulent f(a) sont de façon évidente 0 et S

Pour des raisons de symétrie, le maximum est atteint au milieu de l'intervalle [0,S] c'est à dire S/2

Variante : le maximum est atteint au point où s’annule  la dérivée f’(x) = 0 soit –2a + S = 0 donc a=S/2

a=S/2 et a+b = S font que b=S/2, donc que a=b

Le produit maximum est (S/2)²

Approfondissement Wikiversité

Factoriser g(x) = (x+1)(3x+2)-(2-2x²)(3x+2)

Il est préférable de ne pas se lancer dans des calculs et de faire preuve d'un peut d'astuce

L'astuce la plus évidente pourrait être de commencer à factoriser (3x+2), je vous laisse poursuivre cette piste.

Je vais vous proposer une autre piste qui marcherait aussi si (3x+2) n'était pas un facteur commun !

L'astuce est la suivante : Si j'ai un binôme (ax+b) qui se met en facteur dans g(x) alors g(x) devient nul quand ax+b =0 c'est à dire x=-b/a (le produit de 2 termes dont l'un est nul donne toujours zéro)

Je vais utiliser cette propriété pour sélectionner un binôme de g(x) tel que donné et voir s'il peut être candidat à la factorisation.

Prenons (x+1), nul si x=-1 : est ce que cette valeur annule le reste de l'expression c'est à dire -(2-2x²)(3x+2) ?
La réponse est oui car dans ce produit (2-2x²) est nul
si x=-1.
Donc (x+1) est bien un facteur commun à retenir.

Reste qu'à faire apparaître (x+1) dans
-(2-2x²)(3x+2) en sortant 2 de la 1e parenthèse
=-2(1-x²)(3x+2) en repérant l'identité remarquable a²-b²
=-2(1-x)(1+x)(3x+2) ça y est j'ai fait apparaitre (x+1)

Je peux donc réécrire
g(x) = (x+1) [(3x+2)-2(1-x)(3x+2)] on peut factoriser (3x+2)
g(x) = (x+1)(3x+2)(1 - 2(1-x)] et enfin
g(x) = (x+1)(3x+2)(2x-1)