Trouver la limite de (x-1)/(x-racine x) quand x tend vers 1

En gardant la notation racine x :

x = (racine x)²

Je met en facteur (racine x) au dénominateur :
(x-1) / [(racine x) (racine x -1)]

Comme
(1+racine x)(1-racine x) = (1-x)
(1+racine x)(-1+racine x)=(x-1)

je multiplie en haut et en bas par (racine x+1)
et j'applique (a-b)(a+b) = (a²-b²) au dénominateur pour faire apparaitre (x-1)

(x-1)(racine x+1) / [ (racine x) (x-1) ]

Si x# 1 division possible du numérateur par (x-1),
(x-1) peut être simplifié en haut et en bas, il reste
(racine x+1) / (racine x)

Si x#0, division possible par racine x non nul d'où
(racine x +1)/(racine x) = 1 + 1/(racine x)

quand x -> 1,
limite(x-1)/(x-racine x) = limite 1+ 1/(racine x) -> 2
1 sur racine de 1 faisant 1.

============================

Remarque hors cours :

(racine x) = x^(1/2) où ^ symbole d’élévation à la puissance

Les puissances 1/n sont des racines n-ième d'un nombre.

On généralise ainsi les règles a^n.a^m = a^(m+n) etc.. qui s'appiquent avec n entier relatif

Rappel :

Les puissances négatives -n sont des inverses de puissance
n-ième donc 1/ nombre à puissance n