Trigonométrie 3e

Ex 62:
Soit b un angle aigu tel que tan B = 1/2.
a) Exprime sin B en fonction de cos B .
b) Déduis en la valeur exacte de cos B .

Ex 63:
On considere les formules trigonométriques démontre les égalités suivantes :
a) 1+tan² A  = 1/cos² A
b) 1+cotan² = 1/ sin² A

Ex 62
a) La définition de tan B = sin B / cos B = 1/2 permet de répondre à a)
b) Utiliser Pythagore sous la forme
(sin B)²+(cos B)² =1 autre écriture de  sin²B + cos²B = 1
et remplacer (cos B) par l'expression trouvée en a)
Calculer (cos B)² et prendre la racine carré du résultat.

Ex 63
a) tu multiplies ton égalité des 2 côtés par (cos A)², tu retrouves la forme trigonométrique de Pythagore
b) Idem avec ... ?

Thalès 3e

Soit un trapèze ABCD tel que

• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
• Les droites (AD) et (BC) se coupent en O. Les droites (AC) et (BD) se coupent en O'

Questions

a) Comparer O'A/O'C et OB/OC
b) En déduire la longueur de BC

Question a)

démarche

Le théorème de Thalès s'applique dans 2 cas de figure. Voir les 2 configurations sur Wikipedia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Thal%C...

Avec O supposé à gauche de (AB) [ce qui veut dire que la longueur AB est plus petite que celle de CD] :

- la 1e configuration correspond au triangle CÔD avec
1) O,A,D alignés
2) O,B,C alignés
3) (AB) // (CD);
elle permet d'écrire une première relation de THALES

- la 2e configuration correspond au "papillon" dessiné par les diagonales du trapèze ABCD avec (AB)//(CD) et O' intersection des diagonales du trapèze; elle permet d'écrire une deuxième relation de THALES

Ces 2 séries d’égalités de rapport ont en commun un même rapport (rapport des longueurs des segments parallèles du trapèze) : en déduire ce qu'il faut pour conclure sur la question a)

Question b)

démarche

Les hypothèses ne me permettent pas d'aller plus loin que :
BC = OC - OB

2 Méthodes pour Résoudre (1/u+1/v)=a et uv=b

1e méthode

Système d'équations :
A: (1/u) + (1/v) =5
B: uv=1/6

Démarche

Utiliser l’équation B pour exprimer v en fonction de u et le substituer dans l’équation A par son expression équivalente

On obtient une équation du second degré en u assez simple à résoudre.

Remarque : Il est recommandé en général, d’essayer d’utiliser des solutions évidentes xo, x1… de f(x)=0 pour factoriser l’expression algébrique sous la forme
f(x)=(x-x0)(x-x1). .. g(x)

Résolution effective

On a, dans B : u*v = 1/6 => v=1/(6*u)
Remplacer v dans l'équation A donne :
1/u + 1/(1/(6*u))=5
1/u + 6u = 5
En multipliant les deux membres de l’équation par u, 
u*(1/u+ 6u)=u*5
on obtient une équation du second degré en u :
1 + 6u²=5u
6u²-5u+1=0

Pas de solution triviale, utiliser les formules de l’équation du 2e degré

Discriminant =1, u1=+4/12=+1/3, u2=+6/12=+1/2
En parallèle        v1=+1/2               v2=+1/3

2e méthode

Ici, plutôt que de se lancer dans une résolution classique comme comme ci-dessus, on essaye de raisonner sur l’énoncé pour mettre en évidence les acquis du cours.

Démarche

On voit que mettre les fractions de (1/u + 1/v)=b au même dénominateur permet de faire apparaitre la somme et le produit de u et v

On sait par ailleurs que les 2 nombres  de produit P=uv et de somme S=u+v, sont solution de l’équation du 2e degré x²-Sx+P=0

En effet si x=u ou x=v
(x-u)(x-v)= 0 c’est dire
x²-(u+v)x+uv =0 soit x²-Sx+P=0

Résolution effective

En mettant les fractions au même dénominateur A s’écrit (v+u)/uv=5 comme uv=1/6 on aura au final :

(v+u)=5/6
uv=1/6

Avec S=5/6 et P=1/6 l’équation du 2e degré qui a pour solutions u et v s’écrit :
x²-5/6x+1/6 = 0
Soit encore en multipliant tout par 6
6x²-5x+1  = 0

Discriminant=1, 
Racines de l’équation  x1=+4/12=+1/3 et x2=+6/12=+1/2

Les solutions sont donc
1) u=x1 et v=x2
2) u=x2 et v=x1

Solution générale de (1/u) + (1/v) =a et  uv=b

x1  = (ab – RacineCarré(b) * RacineCarré(a²b-4))/2

x2 = (ab  + RacineCarré(b) * RacineCarré(a²b-4))/2