2 Méthodes pour Résoudre (1/u+1/v)=a et uv=b

1e méthode

Système d'équations :
A: (1/u) + (1/v) =5
B: uv=1/6

Démarche

Utiliser l’équation B pour exprimer v en fonction de u et le substituer dans l’équation A par son expression équivalente

On obtient une équation du second degré en u assez simple à résoudre.

Remarque : Il est recommandé en général, d’essayer d’utiliser des solutions évidentes xo, x1… de f(x)=0 pour factoriser l’expression algébrique sous la forme
f(x)=(x-x0)(x-x1). .. g(x)

Résolution effective

On a, dans B : u*v = 1/6 => v=1/(6*u)
Remplacer v dans l'équation A donne :
1/u + 1/(1/(6*u))=5
1/u + 6u = 5
En multipliant les deux membres de l’équation par u, 
u*(1/u+ 6u)=u*5
on obtient une équation du second degré en u :
1 + 6u²=5u
6u²-5u+1=0

Pas de solution triviale, utiliser les formules de l’équation du 2e degré

Discriminant =1, u1=+4/12=+1/3, u2=+6/12=+1/2
En parallèle        v1=+1/2               v2=+1/3

2e méthode

Ici, plutôt que de se lancer dans une résolution classique comme comme ci-dessus, on essaye de raisonner sur l’énoncé pour mettre en évidence les acquis du cours.

Démarche

On voit que mettre les fractions de (1/u + 1/v)=b au même dénominateur permet de faire apparaitre la somme et le produit de u et v

On sait par ailleurs que les 2 nombres  de produit P=uv et de somme S=u+v, sont solution de l’équation du 2e degré x²-Sx+P=0

En effet si x=u ou x=v
(x-u)(x-v)= 0 c’est dire
x²-(u+v)x+uv =0 soit x²-Sx+P=0

Résolution effective

En mettant les fractions au même dénominateur A s’écrit (v+u)/uv=5 comme uv=1/6 on aura au final :

(v+u)=5/6
uv=1/6

Avec S=5/6 et P=1/6 l’équation du 2e degré qui a pour solutions u et v s’écrit :
x²-5/6x+1/6 = 0
Soit encore en multipliant tout par 6
6x²-5x+1  = 0

Discriminant=1, 
Racines de l’équation  x1=+4/12=+1/3 et x2=+6/12=+1/2

Les solutions sont donc
1) u=x1 et v=x2
2) u=x2 et v=x1

Solution générale de (1/u) + (1/v) =a et  uv=b

x1  = (ab – RacineCarré(b) * RacineCarré(a²b-4))/2

x2 = (ab  + RacineCarré(b) * RacineCarré(a²b-4))/2