Factoriser g(x) = (x+1)(3x+2)-(2-2x²)(3x+2)

Il est préférable de ne pas se lancer dans des calculs et de faire preuve d'un peut d'astuce

L'astuce la plus évidente pourrait être de commencer à factoriser (3x+2), je vous laisse poursuivre cette piste.

Je vais vous proposer une autre piste qui marcherait aussi si (3x+2) n'était pas un facteur commun !

L'astuce est la suivante : Si j'ai un binôme (ax+b) qui se met en facteur dans g(x) alors g(x) devient nul quand ax+b =0 c'est à dire x=-b/a (le produit de 2 termes dont l'un est nul donne toujours zéro)

Je vais utiliser cette propriété pour sélectionner un binôme de g(x) tel que donné et voir s'il peut être candidat à la factorisation.

Prenons (x+1), nul si x=-1 : est ce que cette valeur annule le reste de l'expression c'est à dire -(2-2x²)(3x+2) ?
La réponse est oui car dans ce produit (2-2x²) est nul
si x=-1.
Donc (x+1) est bien un facteur commun à retenir.

Reste qu'à faire apparaître (x+1) dans
-(2-2x²)(3x+2) en sortant 2 de la 1e parenthèse
=-2(1-x²)(3x+2) en repérant l'identité remarquable a²-b²
=-2(1-x)(1+x)(3x+2) ça y est j'ai fait apparaitre (x+1)

Je peux donc réécrire
g(x) = (x+1) [(3x+2)-2(1-x)(3x+2)] on peut factoriser (3x+2)
g(x) = (x+1)(3x+2)(1 - 2(1-x)] et enfin
g(x) = (x+1)(3x+2)(2x-1)