Aire maximum et fonction 2e degré

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On considère le rectangle de centre O tel que les longueurs AB et BC mesurées en cm soient égales respectivement à 8 et à 4.

Soit M un point de [AB]. La droite (OM) coupe (CD) en N 
La parallèle à (BD) passant par N coupe (BC) en P.

But de l'exo:

Déterminer la position de M pour que l'aire du triangle MNP soit maximale.

1) Faire une figure

2) Sur quelle intervalle I, S est-elle définie?

3) Montrer que les triangles OMA et ONC sont isométriques.

4) Montrer que l'aire de MBCN est égale à 16.
Déterminer en fonction de x les aires des triangles PNC et BMP.

5) En déduire que pour tout x de I,S(x)=g(x) avec
g(x)=-1/2*x²+4x

6)Conclure

1) Figure

http://img202.imageshack.us/i/pa030514.jpg/

2) S c’est la surface du triangle MNP, elle est fonction de la position du point M. L’intervalle de variation du point M nommé I dans l’énoncé, est le segment AB.

Déplaçons M sur AB :

Si M est en B, N est en B la parallèle NP se confond avec BD, le triangle est refermé sur BD sa surface est donc nulle.

Si M est en A, N est en C, la parallèle NP se confond avec AC, le triangle est refermé sur AC, sa surface est donc nulle.

On peut s’attendre pour des raisons de symétrie que le milieu de AB permette d’atteindre la surface la plus grande pour MNP

Si on pose AM = x quand M varie de A à B x varie de 0 à 8, l’intervalle de définition de S(x) l’aire en fonction de x est I=[0,8]

3) Isométrie des Triangles : Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangles_isom%C3%A9triques

3 cas de caractérisations. Le quel prendre ?

O étant le milieu de la diagonale AC, on a donc OA =  OC ce qui laisse penser que la 2e caractérisation pourrait convenir:

Deux triangles sont dits isométriques lorsqu'ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles de mêmes mesures

A-t-on les 2 angles adjacents du coté OA de OMA  égaux à leur homologue de OC dans ONC ?

Les propriétés de cours à mettre en oeuvre sont :
1) égalité des angles opposés. Lesquels ?
2) égalité des angles alternes/internes. Lesquels ?

De façon évidente on MÔA = NÔC (angles opposés)

On a ensuite MÂO = NCO (le chapeau ^ ne veut pas se mettre sur un C) car ce sont des angles alterne/interne : (AB) // (CD) coupées par droite (AOC)

Une fois ces angles mis en évidence la 2e caractérisation est démontrée

Les 2 triangles OMA et ONC sont donc isométriques et en particulier on a AM = CN

Il en va de même des triangles BOM et DON (faites la vérification avec le même raisonnement que ci-dessus), ce qui permet de conclure DN = BM

4) Surface du trapèze BCNM = surface du rectangle de largeur BM et de longueur BC=4 + surface du triangle rectangle qui reste

La surface du rectangle qui reste c’est  (hauteur * base)/2
base c’est BC = 4, hauteur c’est à dire CN moins la partie BM qui est utilisée pour le rectangle

Comme CN = CD – DN et qu’on a vu que DN = BM, CN – BM = 8 – 2 BM on a donc :

Surface du trapèze BCNM = 4 * BM + ([8 - 2 BM] * 4)/ 2 =

4 BM +  (32 – 8 BM)/2 = 16

 

Aire PNC =

Aire PMB =

Calculs sur triangle

Calculer les arrondis au degré de chaque angles a partir des donné MAS triangle isocèle, AH hauteur = 5,5cm et en sachant que l'air de ce triangle est égale a 13'2cm²

1) On sait  que Aire Triangle = (Hauteur * Base)/2

Connaissant aire et hauteur je calcule la base

Base = 2 * Aire Triangle / Hauteur

2) Cette base est la base d'un triangle isocèle (2 autres cotés égaux)

La hauteur en H partage cette base en 2 segments égaux
MH = HS = Base trouvée tout à l'heure /2

3) Le triangle AHS est rectangle en H

Son hypoténuse AS vérifie le Théorème de Pythagore
AS² =  HS² + AH² = remplacer par les valeurs connues
AS = racine carré de la somme précédente

4) On peut calculer avec les formule de trigonométrie le sinus de A (demi angle de l'angle A di triangle ALS) dans le triangle rectangle AHS
sin HAS = HS/ AS  en prenant la fonction inverse de sinus sur la calculatrice on trouve le demi angle HAS (attention que la calculatrice donne bien des degrés (et non des radians ou de grades)

Connaissant  c'est angle on le multiplie par 2 pour avoir la mesure de l'angle LAS

5) La somme des angles d'un triangle = 180°.
La différence entre 180° est le résultats ci-dessus donne la somme des 2 angles ASH et ALH (qui sont égaux)

En divisant par 2 on a leur mesure.

Factoriser (x-y)²/(x²-y²)

Le quotient est défini seulement si x différent de y

Identité remarquable
a²-b²=(a+b)(a-b)
donne
x²-y²=(x+y)(x-y)
(x-y)²=(x-y)(x-y)
L'expression de départ s'écrit
(x-y)(x-y)
------------ =
(x+y)(x-y)

(x-y)
------
(x+y)

après simplification en haut et en bas par les facteurs égaux