Les études, à quoi ça sert ?

http://devoirs.fr/mathematiques/aire-maximum-et-fonctions...

On considère le rectangle de centre O tel que les longueurs AB et BC mesurées en cm soient égales respectivement à 8 et à 4.

Soit M un point de [AB]. La droite (OM) coupe (CD) en N 
La parallèle à (BD) passant par N coupe (BC) en P.

But de l'exo:

Déterminer la position de M pour que l'aire du triangle MNP soit maximale.

1) Faire une figure

2) Sur quelle intervalle I, S est-elle définie?

3) Montrer que les triangles OMA et ONC sont isométriques.

4) Montrer que l'aire de MBCN est égale à 16.
Déterminer en fonction de x les aires des triangles PNC et BMP.

5) En déduire que pour tout x de I,S(x)=g(x) avec
g(x)=-1/2*x²+4x

6)Conclure

1) Figure

http://img202.imageshack.us/i/pa030514.jpg/

2) S c’est la surface du triangle MNP, elle est fonction de la position du point M. L’intervalle de variation du point M nommé I dans l’énoncé, est le segment AB.

Déplaçons M sur AB :

Si M est en B, N est en B la parallèle NP se confond avec BD, le triangle est refermé sur BD sa surface est donc nulle.

Si M est en A, N est en C, la parallèle NP se confond avec AC, le triangle est refermé sur AC, sa surface est donc nulle.

On peut s’attendre pour des raisons de symétrie que le milieu de AB permette d’atteindre la surface la plus grande pour MNP

Si on pose AM = x quand M varie de A à B x varie de 0 à 8, l’intervalle de définition de S(x) l’aire en fonction de x est I=[0,8]

3) Isométrie des Triangles : Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangles_isom%C3%A9triques

3 cas de caractérisations. Le quel prendre ?

O étant le milieu de la diagonale AC, on a donc OA =  OC ce qui laisse penser que la 2e caractérisation pourrait convenir:

Deux triangles sont dits isométriques lorsqu'ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles de mêmes mesures

A-t-on les 2 angles adjacents du coté OA de OMA  égaux à leur homologue de OC dans ONC ?

Les propriétés de cours à mettre en oeuvre sont :
1) égalité des angles opposés. Lesquels ?
2) égalité des angles alternes/internes. Lesquels ?

De façon évidente on MÔA = NÔC (angles opposés)

On a ensuite MÂO = NCO (le chapeau ^ ne veut pas se mettre sur un C) car ce sont des angles alterne/interne : (AB) // (CD) coupées par droite (AOC)

Une fois ces angles mis en évidence la 2e caractérisation est démontrée

Les 2 triangles OMA et ONC sont donc isométriques et en particulier on a AM = CN

Il en va de même des triangles BOM et DON (faites la vérification avec le même raisonnement que ci-dessus), ce qui permet de conclure DN = BM

4) Surface du trapèze BCNM = surface du rectangle de largeur BM et de longueur BC=4 + surface du triangle rectangle qui reste

La surface du rectangle qui reste c’est  (hauteur * base)/2
base c’est BC = 4, hauteur c’est à dire CN moins la partie BM qui est utilisée pour le rectangle

Comme CN = CD – DN et qu’on a vu que DN = BM, CN – BM = 8 – 2 BM on a donc :

Surface du trapèze BCNM = 4 * BM + ([8 - 2 BM] * 4)/ 2 =

4 BM +  (32 – 8 BM)/2 = 16

Aire PNC =

Aire PMB =