Déterminer le reste de la division euclidienne de 34 puissance 57 par 11

34 = 11 *3 +1
Le reste de la division de 34 par 11 est 1, ce qui se traduit en relation de congruence modulo 11 :
34 = 1 (modulo 11)

En appliquant la règle 3 ci-dessous on trouve facilement le résultat. pour 34 puissance 57

Règles :

Avec a, b , a', b', q, k , n entiers tels que
a' reste de a dans division par n c'est à dire a = q*n +a'
(q étant ici le quotient)
b' reste de b dans division par n c'est à dire b =  k*n +b'
(k étant ici le quotient)
par définition on a
a = a' (modulo n)
b = b' (modulo n)
et on a les règles :
1) a+b = a' + b' (modulo n) 
2) a*b = a'*b' (modulo n)
3) a^m= m a' (modulo n) en notant a ^m = a puissance m

Si on a donc
34 = 1 (modulo 11) la règle 3 donne :
34^57 = 57 * 1 (modulo 11) = 57 (modulo 11)
comme  57 = 5 * 11 + 2 soit  encore 57 = 2 (modulo 11)
on a finalement
34^57 = 57 (modulo 11) = 2 (modulo 11) qui traduit que le reste de la division par 11 de 34 puissance 57 est 2