Intervalles

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A quel intervalle appartient x lorsque :

• A) 5x-6 appartient ]-l'infini;0]
• B) -x+13 appartient [0;+l'infini[
• C) 1/4x+1/2 appartient [3;6]
• D) 5-2/7x appartient ]-1/2;-1/3[

Quelques rappels à lire attentivement

Un intervalle (sous entendu de nombre réels) est un ensemble de nombres (réels) compris entre 2 bornes (comprises ou exclues)

Exemples :

• Tous les nombres réels allant de -1 et 1 définissent un intervalle de réels qu'on note [-1;1]
  x appartient [-1;1] équivaut à -1<= x <= 1, les bornes -1 et 1 appartiennent à l'intervalle
• Quand un crochet est tourné vers l'extérieur, la borne correspondant est exclue de l'intervalle
  x appartient ]-1;1[ équivaut à -1< x < 1, x ne peut prendre ni la valeur -1 ni la valeur 1, on dit aussi que -1 et +1 n'appartiennent pas à l'intervalle ou sont en dehors de l'intervalle.
• Je peux attribuer des noms d'ensemble aux intervalles,
  par exemple appeler I1 l'ensemble [-1;+1[, et I2 l'ensemble ]-1;+1[ ce qui me permet d'écrire I1 = [-1;+1] et I2 = ]-1;+1[ (l'égalité est une égalité entre ensembles), que I2 est inclus dans I1, que Intersection (I1;I2) = I2 etc ...

Dans ce devoir, on demande à l’élève de faire un peu de gymnastique dans la mesure où on demande un travail inverse de celui qu'on fait habituellement. Je m'explique :

Quand une variable x parcourt un intervalle I,   l'ensemble des valeurs prises par  f(x) fonction réelle définie sur I, s’appelle l'image par f de l'intervalle I.

Cet ensemble image de I par f est l'ensemble noté f(I).

Ex : x appartient [-1,+1], f(x) =2x alors f([-1;+1]) = [-2;+2]

En général, on essaye de décrire f(I) comme une réunion d’intervalles où la fonction est monotone sur chacun de ces intervalles. Pourquoi est-il utile de s’assurer que la fonction est monotone sur un intervalle ? Parce que ça simplifie : dans ce cas on est certain que les valeurs de f prises aux bornes de l’intervalle sont les plus grandes ou les plus petites possibles sur cet intervalle

Qu’est ce qu’une fonction monotone sur un intervalle ? C’est soit une fonction croissante sur l’intervalle, soit au contraire une fonction décroissante sur l’intervalle.

Une fonction f définie sur un intervalle I est croissante sur cet intervalle si quelque soit x appartenant à I quelques soit y appartenant à I on a x<y implique f(x)<=f(y)

Une fonction f définie sur un intervalle I est décroissante sur cet intervalle si quelque soit x appartenant à I quelques soit y appartenant à I on a x<y implique f(x>=f(y)

Exemples de fonction monotones

• f(x) = ax+b monotone sur ]-infini;+infini[  de plus
  si a>0 alors f(x) est croissante,
  si a<0 alors f(x) est décroissante
• f(x) = 1/(ax+b) sur ]-infini; x=-b/a[ et ]-b/a;+infini] 
  Sur les 2 intervalles : 
  f(x) est décroissante si a>0 car si ax+b est croissante son inverse est décroissant. Ici les images d’intervalles sont 
  f(]-Infini;-b/a[) = ]-infini:0[
  f(-b/a;+infini[) = ]0;+infini[
  f(x) est croissante si a < 0 car ax+b décroissante et son inverse croissante. Ici les images d’intervalles sont 
  f(]-Infini;-b/a[) = ]0;+infini[
  f(-b/a;+infini[) = ]-infini;0[

Ici, on voit que le travail demandé, consiste à retrouver I à partir de son image f(I)

Ex : Le problème inverse de l’exemple précédent
x appartient [-1,+1], f(x) =2x alors f([-1;+1]) = [-2;+2]
consiste à dire f(x) appartient à [-2;+2] à quel intervalle doit appartenir x ? Le résultat [-1;+1] est évident mais qu’en serait-il si je dis f(x)=2x appartient à [-3;+3] ?

Ce travail est simple quand on peut calculer la fonction inverse de f sur chacun des intervalles de f(I) où f est monotone.

Voyons ce que ça donne avec nos 4 cas :

A) Déterminer à quel intervalle appartient x quand f(x)appartient ]-l'infini;0] et que f(x) = 5x-6

Si on pose y = f(x), alors y = 5x – 6 ; en ajoutant 6 à droite et à gauche, puis en divisant par 6 à droite et à gauche, on obtient :
x = (y + 6)/5

La fonction g (inverse de f) définie sur ]-infini;0] par
g(y) = (y+6)/5 = y/5 + 6/5
est une fonction croissante de y sur ]-infini;0]
(car si y2 > y1 g(y2)-g(y1) = (y2-y1)/5 > 0 )
Elle croît de –infini (valeur prise pour y = –infini)
à 6/5 (valeur prise pour y = 0)

Donc g(]-infini;0])= ]-infini;6/5] qui est donc l’intervalle de définition de la fonction de départ f(x)

B) Déterminer à quel intervalle appartient x quand f(x) appartient [0;+l'infini[ et que (x)=-x+13

Avec y = f(x), y =-x+13, x = –y +13
La fonction définie sur [0;infini[ par
g(y) = –y +13
est une fonction décroissante de 13 (pour y = 0) à –infini quand y tend vers l’infini, l’intervalle de variation est donc ]-infini;13]

C) Déterminer à quel intervalle appartient x quand f(x) appartient [3;6] et que f(x)=1/4x + 1/2

y=f(x), y=1/4x +1/2,  1/4x =y-1/2, 4x = 1/(y-1/2),
x= 1/(4y –2)
fonction décroissante
y=3 x=1/10
y=6 x =1/22

Intervalle de x est [1/22;1/10]

D) Déterminer à quel intervalle appartient x quand f(x) appartient appartient ]-1/2;-1/3[ et que f(x) = 5-2/7x

1/[7(y-5)/(-2)] = x 
f(y)= 2/(-7y+5) croissante

intervalle [4/17;3/11]

Version simplifiée

Un intervalle (de nombre réels) est un ensemble de nombres (réels) compris entre 2 bornes (inclues ou exclues)

Exemples :

Tous les nombres réels allant de -1 à +1 définissent un intervalle de réels qu'on note [-1;1]

x appartient [-1;1] équivaut à -1<= x <= 1, les bornes -1 et 1 appartiennent à l'intervalle .Un crochet  tourné vers l'extérieur, signale que la borne correspondant est exclue de l'intervalle

Quand une variable x parcourt un intervalle I,   les valeurs prises par  f(x) fonction réelle définie sur I, constituent un ensemble de réels qui s’appelle l'image par f de l'intervalle I.

Ex : x appartient [-1,+1], f(x) =2x alors l'image de [-1;+1] par f notée f([-1;+1]) est égale à [-2;+2]. Pourquoi ? Parce que :

La fonction f(x) = 2x étant croissante, l'intervalle image
[-2;+2] s'obtient comme [f(-1);f(+1)] c'est a à dire en prenant l'intervalle obtenu en calculant l'image des bornes de départ.

Si je prends une fonction f(x) = -2x la fonction étant décroissante l'image f([-1;+1]) va s'obtenir aussi en calculant f(-1) = +2 et f(+1) =-2 mais la fonction étant décroissante pour écrire l'intervalle d'arrivé correctement je vais devoir remettre les valeurs dans l'ordre : plus petite comme borne inférieure, plus grande comme borne supérieure. L'image est donc à nouveau [-2;+2]

On dit qu'une fonction est  monotone sur un intervalle si elle est soit  croissante soit décroissante sur un intervalle.

Pourquoi est-il utile de s’assurer que la fonction est monotone sur un intervalle ? Parce que ça simplifie : dans ce cas on est certain que les valeurs de f prises aux bornes de l’intervalle sont les plus grandes ou les plus petites possibles sur cet intervalle.

Dans ton devoir on te demande de faire un travail inverse. On te donne une fonction et l'intervalle des résultats de cette fonction et on demande de retrouver l'intervalle de départ

Avec l'exemple du début ça donne : Si f(x) = 2x et que f(x) appartient à [-2;+2], quel est l'intervalle des x ? On sait que c'est [-1;+1] Comment faire pour retrouver [-1;+1] ?

je calcule la fonction inverse qui me permet de passer de y=f(x) à x, y étant pris dans l'intervalle [-2;+2].
Puisque f(x)=2x, y=2x en divisant par 2 à droite et à gauche de = j'obtient la nouvelle égalité x = y/2
La fonction y/2 étant croissante
L'image de la borne y=-2 est x=-2/2 =-1
L'image de la borne y=+2 est x=+2/2 =1
On a bien retrouvé notre intervalle de départ [-1;+1]

Autre exemple en prenant f(x) = 2x mais avec f(x) appartient à l’intervalle [–3,+3] au lieu de {-2;+2] :
La fonction inverse est inchangé y/2
L’image de la borne y=-3 est x=-3/2
L’image de la borne y=+3 est x=+3/2
L’intervalle des x pour f(x) est donc [–3/2;+3/2]

Voyons ce que ça donne avec le premier de nos 4 cas :

A) Déterminer à quel intervalle appartient x quand f(x)appartient ]-l'infini;0] et que f(x) = 5x-6

Si on pose y = f(x), alors y = 5x – 6 ; en ajoutant 6 à droite et à gauche, puis en divisant par 6 à droite et à gauche, on obtient :
x = (y + 6)/5
quand y tend vers -infini y tend vers -infini
quand y = 0 alors x= 6/5
L'intervalle des x est ]-infini;6/5] car la fonction (y+6) /5 est monotone sur l’intervalle des y donné ]-infini;0]

B) est le petit-frère de à A

Je reviendrai pour C) et D)