Les études, à quoi ça sert ?

x doit être différent de 1 ou –1

identité remarquable x²-1 = (x-1)(x+1) permet de multiplier les 2 membres de l'égalité et d'avoir le maximum de simplifications

il subsiste (si j'ai bien reconstitué l'énoncé) :
(3x²- 3x + 1 ) = 3 (x²-1) + 2 (x -1) - 5 (x+1)
qui donne 1 = -10, il n'y a pas de solution sauf x infini

Votre calcul 3 + ((-3x² +3)/x²-1) n'aurait-il pas dû donner
3 + [2 (x-1) - 5(x+1) ]/(x2-1)
3 + [ -3x - 7 ]/ (x2-1)

Avec cette nouvelle expression :
(3x²-3x+1)/(x²-1) = 3 + (2/x² +1) - (5/x² -1)

x doit être non nul et différent de 1 ou -1

à droite les parentèses ne servent à rien (sauf inversion de signes)
(3x²-3x+1)/(x²-1) = 3 +  2/x² +1 - 5/x² +1)= 5 -3/x²

le plus simple est de tout multiplier par x²,
x² (3x²-3x+1)/(x²-1) =  5x² - 3

puis tout par (x²-1),
x² (3x² -3x+1) = (5x²-3)(x²-1)

qui ne donnera  pas mieux que
2x^4+3^x^3-9x^2+3=0

Pas de racine triviale, difficile de voir un carré de trinome

A mon avis les 4 solutions ne peuvent etre déterminées que par un programme d'analyse numérique